前言

相信大家都知道 JS 的精度存在问题，像 0.1 + 0.2 是否等于 0.3 这样的已经是被问烂了的面试题，那么为什么 JS 会存在这样的精度问题呢？

数字类型

ECMAScript 中的 Number 类型使用的是 IEEE754 标准来表示整型和浮点数值。

在 IEEE754 中，规定了四种表示浮点数值的方式：单精度（32位）、双精度（64位）、延伸单精度和延伸双精度。ES 采用的就是双精度，也就是说会用 64 个字节来存储一个浮点数。

浮点数转二进制

1020 转成二进制为 1111111100

如果是 0.1 转成二进制就是 0.00011001100110011....，是一个无限小数。

浮点数存储

虽然 0.1 转成二进制是一个无限小数，但是计算机总要存储。

由于 JS 采用双精度存储，这个标准认为一个浮点数可以表示为：

Value = sign * exponent * fraction

用人话来说就是科学计数法。

比如 -1020，用科学计数法表示就是:

-1 * 10^3 * 1.02

sign 就是 -1，exponent 就是 10^3，fraction 就是 1.02

对于二进制也是一样，以 0.1 的二进制 0.00011001100110011…… 这个数来说：

可以表示为：

1 * 2^-4 * 1.1001100110011……

其中 sign 就是 1，exponent 就是 2^-4，fraction 就是 1.1001100110011……

而当只做二进制科学计数法的表示时，这个 Value 的表示可以再具体一点变成：

V = (-1)^S * (1 + Fraction) * 2^E

(如果所有的浮点数都可以这样表示，那么我们存储的时候就把这其中会变化的一些值存储起来就好了)

我们来一点点看：

(-1)^S 表示符号位，当 S = 0，V 为正数；当 S = 1，V 为负数。

再看 (1 + Fraction)，这是因为所有的浮点数都可以表示为 1.xxxx * 2^xxx 的形式，前面的一定是 1.xxx，那干脆我们就不存储这个 1 了，直接存后面的 xxxxx 好了，这也就是 Fraction 的部分。

最后再看 2^E

如果是 1020.75，对应二进制数就是 1111111100.11，对应二进制科学计数法就是 1 * 1.11111110011 * 2^9，E 的值就是 9，而如果是 0.1 ，对应二进制是 1 * 1.1001100110011…… * 2^-4， E 的值就是 -4，也就是说，E 既可能是负数，又可能是正数，那问题就来了，那我们该怎么储存这个 E 呢？

我们这样解决，假如我们用 8 位字节来存储 E 这个数，如果只有正数的话，储存的值的范围是 0 ~ 254，而如果要储存正负数的话，值的范围就是 -127~127，我们在存储的时候，把要存储的数字加上 127，这样当我们存 -127 的时候，我们存 0，当存 127 的时候，存 254，这样就解决了存负数的问题。对应的，当取值的时候，我们再减去 127。

所以呢，真到实际存储的时候，我们并不会直接存储 E，而是会存储 E + bias，当用 8 个字节的时候，这个 bias 就是 127。

所以，如果要存储一个浮点数，我们存 S 和 Fraction 和 E + bias 这三个值就好了，那具体要分配多少个字节位来存储这些数呢？IEEE754 给出了标准：

(opens new window)

在这个标准下：

我们会用 1 位存储 S，0 表示正数，1 表示负数。

用 11 位存储 E + bias，对于 11 位来说，bias 的值是 2^(11-1) - 1，也就是 1023。

用 52 位存储 Fraction。

举个例子，就拿 0.1 来看，对应二进制是 1 * 1.1001100110011…… * 2^-4， Sign 是 0，E + bias 是 -4 + 1023 = 1019，1019 用二进制表示是 1111111011，Fraction 是 1001100110011……

对应 64 个字节位的完整表示就是：

0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

同理, 0.2 表示的完整表示是：

0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

所以当 0.1 存下来的时候，就已经发生了精度丢失，当我们用浮点数进行运算的时候，使用的其实是精度丢失后的数。

浮点数运算

关于浮点数的运算，一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断。我们来简单看一下 0.1 和 0.2 的计算。

首先是对阶，所谓对阶，就是把阶码调整为相同，比如 0.1 是 1.1001100110011…… * 2^-4，阶码是 -4，而 0.2 就是 1.10011001100110...* 2^-3，阶码是 -3，两个阶码不同，所以先调整为相同的阶码再进行计算，调整原则是小阶对大阶，也就是 0.1 的 -4 调整为 -3，对应变成 0.11001100110011…… * 2^-3

接下来是尾数计算:

  0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101
+ 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
————————————————————————————————————————————————————————
 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111

我们得到结果为 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111 * 2^-3

将这个结果处理一下，即结果规格化，变成 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1) * 2^-2

括号里的 1 意思是说计算后这个 1 超出了范围，所以要被舍弃了。

再然后是舍入，四舍五入对应到二进制中，就是 0 舍 1 入，因为我们要把括号里的 1 丢了，所以这里会进一，结果变成

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2^-2

本来还有一个溢出判断，因为这里不涉及，就不讲了。

所以最终的结果存成 64 位就是

0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110100

将它转换为10进制数就得到 0.30000000000000004440892098500626

因为两次存储时的精度丢失加上一次运算时的精度丢失，最终导致了 0.1 + 0.2 !== 0.3